Dopo il breve viaggio nella trigonometria, fatto negli articoli precedenti (un’esplorazione in effetti un po’ veloce…) ora posso mostrarti, finalmente, una delle cose per cui servono seno, coseno e tangente: risolvere un triangolo rettangolo.

Te lo scrivo qui prendendo un triangolo rettangolo qualsiasi ed usando le funzioni trigonometriche.

C’è un “però“.
Affinchè tutto funzioni bene devi conosere almeno due elementi del triangolo, ed uno di loro deve essere un lato.

IL TRIANGOLO RETTANGOLO

Se il triangolo è una figura geometrica “nobile” in topografia (perchè è utilissimo), quello rettangolo ha delle ulteriori agevolazioni.

Te le riassumo.

• Conosci sempre la misura di un angolo, quello retto, che vale 90° (oppure 100c o, ancora,  π/2);
• Conosci la somma degli altri due ed è, di nuovo, 90°.
  Sì perchè la somma degli angoli interni di un triangolo è 180° (200c) e visto che uno lo conosci già, e vale 90°, gli altri due insieme non possono che fare 180°-90°=90°.
  Gli angoli interni di un triangolo rettangolo, diversi dall’angolo retto, sono complementari.
• Per quello che ti ho appena scritto qui sopra, non possono esistere triangoli rettangoli ottusangoli.
• Non esiste neppure un triangolo rettangolo equilatero.
  Gli angoli interni di un triangolo equilatero sono, ovviamente, uguali tra loro e misurano 60°.
  In un triangolo rettangolo un angolo è già di 90° e quindi fa saltare in aria tutto il progetto di equilateralità.
• La somma dei cateti è maggiore dell’ipotenusa.
• La somma dei quadrati dei cateti è uguale al quadrato della misura dell’ipotenusa.
  Ecco se non avessi letto bene ti invito a tornare sulla riga qui sopra.
  Ci trovi il famosissimo Teorema di Pitagora, una delle cose più potenti e utili che si incontrano durante il viaggio nella Geometria.

Non è mica male tutta ‘sta roba qui sopra!
🙂

TRIANGOLO RETTANGOLO E CERCHIO GONIOMETRICO

Se guardi il cerchio goniometrico che ho usato per parlarti di seno e coseno noti subito che lì in mezzo c’è un triangolo rettangolo.

Questo qui sopra si chiama BCO e l’angolo retto è quello in C.

Una cosa interessante è che l’ipotenusa di questo triangolo, OB, è il raggio del cerchio (che vale 1 in questo caso particolare) mentre i due cateti corrispondono al seno ed al coseno dell’angolo orientato α.

RISOLUZIONE CON SENO E COSENO

Torna alle definizioni di seno e coseno.

Senα = BC/OB

Cosα = OC/OB

E da qui puoi scrivere

BC = OB Senα

OC = OB Cosα

Quello che ti ho scritto qui sopra non vale solo nel cerchio goniometrico.
Vale sempre.
Per ogni triangolo rettangolo.

RISOLUZIONE CON LA TANGENTE

Nello stesso modo puoi riprendere la definizione di tangente ed usarla per trovare i lati del triangolo.

Tgα = Senα / Cosα

Visto che sai quanto vale il seno ed il coseno di α (se hai una lapsus improvviso lo puoi leggere poche righe qui sopra) puoi scrivere:

tgα = BC / OC

Da cui

BC = OC tgα

OC = BC (1/tgα)

e dato che 1/tgα = cotgα

OC = BC cotgα

Ed anche questo vale per tutti i triangoli rettangoli.

ENUNCIATI: RISOLUZIONE “A PAROLE”

Ecco, è tutto qui…
“Tutto” si fa per dire.
Sono strumenti davvero potenti e la loro forza, come quella del teorema di Pitagora (e di altre cose che ti racconterò nelle prossime parti), sta nel fatto che valgono per tutti i triangoli rettangoli.
Belli, brutti, alti, bassi, magri, grassi…
Vanno bene per tutti quanti.
Nessuno escluso.
Purchè uno dei tre angoli sia retto.

Quando li ho studiati, a scuola, parecchi (ahimé) anni fa ho memorizzato l’enunciato, senza passare per sigle, cifre e altre invenzioni.
E mi sono rimasti impressi in testa.
Anche a distanza di anni.

Gli enuncIati non sono altro che la traduzione a parole delle formule che ti ho scritto.

Eccoli.

La premessa valida per tutti è: in ogni triangolo rettangolo…

• un cateto è uguale all’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto (al cateto) o è uguale all’ipotenusa per il coseno dell’angolo che gli è adiacente (compreso tra cateto e ipotenusa);
• un cateto è uguale all’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto (sempre al cateto) oppure è uguale al prodotto dell’altro cateto per la cotangente dell’angolo adiacente (compreso tra cateto e ipotenusa).

Puoi ribaltare il primo enunciato e guardare le cose dal punto di vista dell’ipotenusa:

• l’ipotenusa è uguale al rapporto tra un cateto ed il seno dell’angolo opposto (a questo cateto), oppure è uguale al rapporto tra un cateto ed il coseno dell’angolo compreso tra questo cateto e l’ipotenusa stessa.

IN PRATICA…

Sono quattro i casi che puoi incontrare nell’affrontare i triangoli rettangoli.

1. Conosci i due cateti;
2. Conosci un cateto e l’ipotenusa;
3. Conosci un cateto ed un angolo;
4. Conosci l’ipotenusa ed un angolo.

Ovviamente nel punto 3 e nel punto 4, l’angolo a cui faccio riferimento non è quello retto

Risolvere un triangolo vuol dire arrivare a conoscere tutti i suoi elementi principali: 3 angoli e 3 lati.
Ma ora che sai come fare non c’è niente che ti può spaventare!
🙂

Si tratta di fare tre passaggi in fila applicando le formule che ti ho scritto, trovando di volta in volta gli elementi mancanti.

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