L’aggettivo “qualsiasi” per un triangolo non è un proprio un granchè.
Però è l’unico che mi è venuto in mente.
Dire “scaleno” non basta, perchè si potrebbe trattare di un triangolo rettangolo scaleno, semplificando un po’ le cose per via dell’angolo di novanta gradi (ho parlato dei triangoli rettangoli qui).
Quindi lasciamo pure l’aggettivo “qualsiasi” vicino al nomeo triangolo.

In quersto articolo ti parlo del Teorema di Seni e del Teorema di Carnot (o dei Coseni), due formule molto potenti che ti permettono di risolvere ogni triangolo, a patto che tu conosca almeno tre elementi (angoli o lati) tra cui almeno un lato (tre angoli non sono sufficienti perchè potresti avere un numero infinito di triangoli simili che hanno gli stessi angoli ma lati diversi).

PROPRIETÀ DEI TRIANGOLI

Prima di parlarti dei due teoremi, che ti ho anticipato qui sopra, ti elenco brevemente le proprietà dei triangoli, valide per tutti quanti:

La somma degli angoli interni è l’angolo piatto (180° o 200c);
Ogni lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza;
Le relazioni di uguaglianza/disuguaglianza/maggiore/minore che ci sono tra i lati (un lato è maggiore di un altro, …) valgono anche per gli angoli opposti ai lati (se guardi il triangolo qui sopra, c > a ed anche γ > α).

I TEOREMI PER RISOLVERE UN TRIANGOLO

Attingiamo a piene mani dalla trigonometria e devo dire che ci dà una grande mano.
Se ci pensi un attimo, poter risolvere qualsiasi triangolo conoscendo la metà dei suoi elementi (lati e angoli) non è niente male!
E da qui puoi risalire anche all’area perchè puoi trovare l’altezza lavorando sui due triangoli rettangoli che compaiono appena la tracci.

In teoria (ed anche in pratica) potrebbe bastarti sapere quello che ti ho detto sui triangoli rettangoli per risolverne uno qualsiasi (di triangoli).
Un’altezza lo divide in due triangoli rettangoli che, risolti separatamente, ti portano a trovare gli altri elementi incogniti.

Tuttavia questo metodo è poco conveniente.
Non perchè non funzioni (anzi!) o sia troppo lungo, ma perchè ci sono dei teoremi fondamentali, molto più efficienti per i triangoli qualsiasi.

In origine erano quattro:

Teorema dei Seni
Teorema di Carnot
Teorema di Nepero
Teorema di Briggs

Ma ora se ne ricordano (si studiano e si applicano) solo due, i primi due: il teorema di Seni ed il teorema di Carnot.
Non è che Nepero e Briggs siano stati cancellati dal libro della matematica è che le loro formule si usavano parecchi anni fa insieme alle tavole logaritimiche (se sei giovane forse non sai neppure che cosa siano) e sono stati “spazzati via” dalle calcolatrici.

Ed anch’io li lascio stare…

TEOREMA DEI SENI

Il Teorema dei Seni dice questo:
in ogni triangolo il rapporto tra un lato ed il seno dell’angolo opposto è costante (ed è uguale a raggio del cerchio circoscritto).

Ed in formula lo puoi scrivere così:
a/senα = b/senβ = c/senγ = 2R

La parte legata al cerchio circoscritto non la trovo così potente come la prima parte, quella del rapporto lato/angolo, ma deriva direttamente dalla dimostrazione del teorema.

Eccola.

Prendi un triangolo qualsiasi, ABC.
Ogni triangolo è sempre inscrivibile in un cerchio e questo non fa certo eccezione.
Ed allora ce lo inscivo.
Il centro del cerchio è il “circocentro“, punto di incontro degli assi del triangolo.

Ogni lato del triangolo è una corda del cerchio.
Ed ogni angolo opposto a ciascun lato è un angolo alla circonferenza che insiste sul lato/corda.

Da un vertice traccio il diametro del cerchio (2R).
Lo faccio partire da B per arrivare all’altro punto sulla circonferenza: D.
Se unisco D con C e poi con A trovo due triangoli rettangoli DAB e DCB.
Perchè sono rettangoli?
Perchè gli angoli in C ed in A sono angoli alla circonferenza che insistono su una corda che non è altro che il diametro BD.
Dato che un angolo alla circonferenza è la metà dell’angolo al centro insistente sulla stessa corda e visto che l’angolo al centro BOD è 180°, i due angoli alla circonferenza, in A e in C, sono retti.

Ma posso dire ancora qualcosa su questo triangolo.
L’angolo BDC è uguale all’angolo α perchè sono angoli alla circonferenza che insistono sulla stessa corda BC e così vale per l’angolo BDA che, insistendo sulla corda AB, è uguale all’angolo γ.

Ok ora sfrutto la trigonometria applicata ai “nuovi” triangoli rettangoli.
L’ipotenusa ce l’hanno in comune ed è BD = 2R.

Da qui posso scrivere che:
2R = a/senα
e
2R = b/senβ

Se poi, con lo stesso principio, traccio il diametro del centro circoscritto partendo da A, invece che da B, riesco a scrivere anche che:
2R = b/senβ
e
2R = c/senγ

Ed ecco che ho trovato il teorema dei Seni:
a/senα = b/senβ = c/senγ = 2R

IL TEOREMA DEI SENI “ALTERNATIVO”

Forse questo titolo è esagerato.
È solo per dirti che la formula del Teorema dei Seni la puoi scrivere così:
a/b = senα/senβ
b/c = senβ/senγ
a/c = senα/senγ

che, a parole, si traduce nel dire che in ogni triangolo il rapporto tra due lati è uguale al rapporto tra i seni degli angoli opposti.

TEOREMA DI CARNOT (O DEI COSENI)

Se hai delle reminiscenze di Fisica e ti ricordi del Teorema di Carnot in Termodinamica ti potrà far piacere sapere che questo Carnot del Teorema dei Coseni ne era il padre.
Sadi Carnot era il fisico, mentre Lazare Carnot era il matematico a cui mi riferisco in questo articolo.
Magari non te ne frega niente…
Ma mi fa piacere scriverlo perchè io per primo credevo che si trattasse della stessa persona!
🙂

Quelli bravi dicono che il Teorema di Carnot rappresenti l’estensione del Teorema di Pitagora ai triangoli qualsiasi.
Ed in effetti hanno ragione!

Ti scrivo subito la formula, così ti è più evidente la similitudine
O meglio, le formule…

a² = b² + c² – 2bc cosα
b² = a² + c² – 2ac cosβ
c² = a² + b² – 2ab cosγ

E qui c’è l’enunciato:
In ogni triangolo il quadrato della lunghezza di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due (e fino a qui ci avviciniamo al Teorema di Pitagora) meno il loro doppio prodotto per il coseno dell’angolo compreso (e mi riferisco agli altri due lati…)

Ed anche questo si può dimostrare in poche righe.

Guarda il triangolo ABC qui sopra.
Traccio l’altezza BH, che lo divide in due triangoli rettangoli AHB e BHC.
Prendo quello di destra, BHC, e applicando il Teorema di Pitagora posso scrivere che:
a² = CH² + BH²

Se mi sposto sul triangolo di sinistra, AHB, posso scrivere che:
BH = c senα
AH = c cosα

Tornando al primo dei due triangoli posso scrivere anche che
CH = AC – AH
CH = b – c cosα

Se ora prendo quello che ho trovcato per CH e per BH e lo porto nella formula di a² trovo questo:
a² = (b – c cosα)² + (c senα)²
Faccio un po’ di calcoli e sviluppo il quadrato del primo binomio (tralascio questa regola algebrica…)
a² = b² + c²cos²α – 2bccosα + c²sen²α
a² = b² + c² (cos²α + sen²α) – 2bccosα
Se ti ricordi la relazione fondamentale della trigonometria puoi scrivere che (cos²α + sen²α) = 1
E quindi:
a² = b² + c² – 2bc cosα

Se ripeti il procedimento tracciando le altre due altezze arrivi facilmente alle altre due formule del Teorema di Carnot.
Si chiama anche Teorema dei Coseni perchè la funzione trigonometrica che finsice dentro le relazioni è proprio il coseno.
Ma credo che fosse piuttosto evidente…
🙂

PERCHÈ IL TEOREMA DI CARNOT?

Prova a risolvere con il Teorema dei Seni un triangolo di cui conosci i tre lati…
Non ci riuscirai.

Se non vuoi passare attraverso i triangoli rettangoli che spuntano fuori con le altezze devi usare il Teorema di Carnot.
Riesci a trovare un angolo compreso tra due lati e da qui ti si sblocca la risoluzione del triangolo per conosere gli altri due angoli.

Ecco ora hai a disposizione un piccolo arsenale di informazioni per risolvere ogni triangolo.
E dai triangoli si passa facilmente anche ai poligoni con più lati perchè puoi sempre dividerne la superficie in due o più triangoli.
Ci vorrà un po’ di tempo per risolverli uno dopo l’altro ma il triangolo ti permette di tirar fuori le gambe da un problema geometrico.
E da un problema geometrico ad uno topografico il passo è breve!

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