Se cerchi l’unità di misura degli angoli tra le 7 unità di misura fondamentali del Sistema Internazionale (SI), non la troverai.
La trovi tra quelle derivate.
Ma ce l’hanno un po’ infilata ” a forza”.

Sì, perchè l’angolo è una grandezza adimensionale!
O almeno lo è leggendo la definizione di Radiante che trovi un po’ più in basso.

Ma d’altra parte, è talmente importante che non si poteva far finta di niente.
Per uscire dal contesto topografico, prova a chiedere a chi manovra un cannone a bordo di una nave come fa a misura le rotazioni da applicare per colpire il bersaglio…
Esatto! Sono proprio misure di angoli.

Anche se non è una grandezza fisica pura al 100% è comunque qualcosa di utile ed importante e si deve poter misurare.
E quindi anche lui ha la sua unità di misura.
Beh, a dire il vero ne ha più di una.
Se le contiamo tutte sono 6:

• radiante;
• sessagesimale;
• (sessagesimale) decimale;
• centesimale;
• millesimale;
• orario.

Come spesso succede, si è passati dal niente al troppo.
E forse ne dimentico per strada qualcuna minore.
Tuttavia le cose stanno proprio così.

Ti anticipo che qui ci fermiamo alle prime quattro, lasciando stare il grado millesimale (usato, appunto, in Artiglieria) ed il sistema orario (usato in Astronomia).

UNITÀ DI MISURA DELL’ANGOLO

Se ne leggi la definizione geometrica (l’angolo è ciascuna delle parti del piano in cui esso è diviso da due semirette, uscenti dallo stesso punto) e provi a cercare qualcosa che possa essere usato come confronto e paragone per la misura dell’angolo (cioè come sua unità di misura) le cose non sono immediate.

L’angolo è una parte di piano.

Ok, quindi uso l’unità di misura della superficie, il metro quadrato?
No, perchè non è qualcosa di limitato.
Oddio due limiti ci sono, i lati dell’angolo, ma non bastano a chiuderlo.

Lasciamo stare il metro quadrato.

Cerchiamo qualcosa che sia legato al movimento del lato origine verso il lato estremo dell’angolo orientato, qualcosa che misuri la rotazione attorno al vertice, un’unità di misura che sia applicabile al concetto di “spazzare” (e non intendo per terra…).

IL RADIANTE, L’UNITÀ ASSOLUTA

Il Sistema Internazionale ha chiesto aiuto alla matematica e, di nuovo, alla geometria per introdurre il Radiante.

Se anche tu come me ti sei battuto con esami universitari di Analisi Matematica, Geometria, Fisica, Meccanica Razionale, … lo conosci già.

Se prendo un cerchio, disegno due raggi non coincidenti (questa non è una necessità ma piuttosto un modo per capire meglio il disegno) che individuano un arco, si può dimostrare (ma non lo faccio qui) che il rapporto tra l’angolo al centro e la lunghezza dell’arco di circonferenza è costante ed indipendente dal raggio.

Uso questa proprietà e scrivo (in realtà l’ha fatto qualcun altro prima di me) che un radiante è l’angolo al centro, in un cerchio di raggio R, che sottende un arco di circonferenza “l” lungo (il suo sviluppo) quanto il raggio “R”.

Come al solito le definizioni sono molto rigorose ma spesso poco calorose.

Vediamola in modo più pratico.
Se vuoi sapere quanto misura, in radianti, l’angolo AÔB devi costruirci sopra un cerchio che ha il centro coincidente con il vertice dell’angolo e raggio uguale al lato OA, che poi è uguale anche ad OB.

L’angolo alfa, espresso in radianti, è uguale al rapporto tra l’arco di circonferenza AB, che misura “l“, ed il raggio del cerchio R.

AÔB^rad = l/R

Per capire che si tratta proprio di un angolo misurato in radianti, e non confonderlo con il resto delle unità di misura degli angoli, si mette l’apice “rad” sopra il suo nome o il suo simbolo.

Da qui, con poco sforzo e ricordando che la formula per la misura di una circonferenza è 2πR, si fa presto a dire che:

• se l = R allora AÔB^rad = 1;
• misura dell’Angolo Giro = 2πR/R = 2π;
• misura dell’angolo Piatto = πR/R = π;
• misura dell’angolo Retto = πR/2R = π/2.

Per come è definito si capisce il perchè non abbia una sua dimensione.
L’arco di circonferenza l, che è al numeratore, è una lunghezza [L], così come lo è il Raggio R, al denominatore.

[L] / [L] spariscono ed ecco l’adimensionalità…

Si dice che il radiante sia l’unità di misura assoluta degli angoli.
È quella ufficialmente inserita nel Sistema Internazionale ed è usata in tutte le trattazioni teoriche, matematico-geometriche (e non solo).

Ma è un po’ sterile e poco pratica da usare in campo, quando si misura.
E quindi il topografo lo lascia usare al matematico preferendo dell’altro…

SISTEMI DI MISURA OPERATIVI

Prova a lavorare in modo rigoroso avendo sempre tra i piedi π (3,14159265358…) e ti accorgerai che avere un numero irrazionale in ogni misura non si sposa bene con il concetto di precisione del dato e di accuratezza di un rilievo.

Il topografo preferisce altro: gradi sessagesimali e centesimali.

GRADO SESSAGESIMALE

Prendi un angolo Giro e dividilo in trecentosessanta (360) parti.
Ognuna è un grado sessagesimale [°].

Ora prendi un angolo sessagesimale e dividilo in sessanta (60) parti per trovare il primo [‘].

Infine dividi il primo, ancora, per sessanta ed ottieni il secondo [“].

Gradi, primi e secondi misurano un angolo nel sistema sessagesimale.
48° 17′ 26″ è una misura che si legge: 48 gradi, 17 primi e 26 secondi.

Per raggiungere maggiori precisioni, i secondi di grado possono avere anche dei decimali (52° 34′ 20,92″), mentre gradi e primi sono sempre numeri interi.

Questo modo di misurare gli angoli è il più antico.
Lo usavano già i Babilonesi.
Altro che radianti!
🙂
La scelta di dividere l’angolo giro in 360 parti deriva proprio dalla loro attività astronomica.
Visto che l’anno solare è, più o meno, fatto di 360 giorni, un grado sessagesimale corrisponde all’incirca all’angolo descritto dalla Terra, sulla sua orbita, in un giorno.

Il grado sessagesimale torna bene anche in geometria perchè, ad esempio, gli angoli interni dei poligoni regolari (almeno fino all’esagono) sono facili da ricordare:

• triangolo equilatero: 60°;
• quadrato: 90°;
• pentagono: 108°;
• esagono: 120°

Tuttavia le operazioni tra angoli sessagesimali non seguono il modo “classico”, ossia quello decimale, ed è necessario operare separatamente tra gradi, primi e secondi e poi aggiustare le eventuali eccedenze.
Non è difficile, ma non è neppure veloce.
Si prestava bene ai calcoli mnemonici ma è un po’ meno immediato per calcolatrici, pc e software.

GRADO DECIMALE

Per rendere più semplici le operazioni tra angoli sessagesimali, si usa parecchio il sistema sessagesimale decimale o, più semplicemente, decimale.

Un grado decimale è un trecentosessantesimo dell’angolo giro, proprio come il grado sessagesimale, ma i sottomultipli del grado sono espressi in forma decimale.

Come si fa?
È semplice.

1. Considera un angolo nel sistema sessagesimale: 48° 17′ 26″;
2. Prendi il numero dei gradi: 48°;
3. Dividi i primi per 60: 17/60 = 0,2833;
4. Somma il risultato ai gradi: 48 + 0,2833 = 48,2833;
5. Prendi i secondi e dividili per 3600 (sì perchè in un grado ci sono 60×60=3600 secondi): 26/3600 = 0,0072;
6. Sommali al risultato del passaggio 4: 48,2833 + 0,0072 = 48,2905
7. L’angolo sessagesimale espresso in decimali misura 48,2905

Questo sistema è comodo per i calcoli con le calcolatrici ed all’interno di alcuni software che lavorano con gli angoli.
Infatti le operazioni aritmetiche si fanno seguendo le regole della numerazione decimale.
48,256343 + 21,859672 = 70,116015

E se ho una misura nel sistema decimale e voglio ritornare a quello sessagesimale?
Per esempio: 32°,4550.

Beh si tratta di fare i passaggi inversi:

1. i gradi sono sempre e comunque 32;
2. per trovare i primi faccio: 0,4550 x 60′ = 27,30′;
3. ed i primi sono 27;
4. per i secondi faccio la stessa cosa con i decimali dei primo, punto 2: 0,30 x 60″ = 18″;
5. Ecco che l’angolo sessagesimale misura: 32° 27′ 18″.

GRADO CENTESIMALE

L’unità di misura più usata in topografia è il grado centesimale.
Almeno era così fino a quando si usava quasi esclusivamente la stazione totale.
Il suo primo utilizzo è di Ignazio Porro, nel 1850, quando fabbricò i primi teodoliti centesimali.

Ora il GPS (che dovrei chiamare GNSS) e la sua diffusione nel rilievo, ormai consolidata, sta portando all’uso comune e abituale del sistema sessagesimale o decimale.

Il grado centesimale è la centesima parte dell’angolo retto.
Il suo simbolo può essere indicato in uno di questi modi [^c], [^gon] o [^g].
L’angolo retto misura 100^gon.
Un angolo piatto è 200^gon.
Quello giro vale 400^gon.

Dopo il numero intero, che individua il grado, si usano, come per il sistema sessagesimale decimale, decimi, centesimi, millesimi, …, decimali.

Proprio perchè ci tengo ad essere completo fino in fondo, ti dico che potresti trovare, in qualche anfratto remoto di una cantina topgorafica, i primi centesimali [^–] ed i secondi centesimali [⁼].

Io non li ho mai incontrati…

CONVERTIRE LE UNITÀ DI MISURA

Ora che ti ho detto quali sono le unità di misura che si usano per gli angoli, devo darti le istruzioni per passare da un sistema all’altro.

Ci si basa su una proporzione e sul principio che, qualunque sia il sistema scelto, l’ampiezza di un angolo rimane la stessa.
L’angolo piatto sarà sempre e comunque la misura di mezzo giro di cerchio.
Se raddoppi la dimensione di un angolo, raddoppia anche la sua misura, per qualunque sistema di unità che stai usando.

Ed allora si può scrivere questa relazione, dove ß (Beta) è un angolo generico:

­­ß^rad / π = ß^gon / 200^gon = ß° / 180°

È piuttosto semplice passare da un sistema all’altro.

Devi solo fare attenzione ad una cosa.
Affinchè tu possa fare le operazioni previste dalla proporzione (moltiplicazione e divisione) è necessario convertire preventivamente i gradi sessagesimali in gradi decimali (sessagesimali), in modo che si abbiano ovunque grandezze operabili matematicamente con le regole dei numeri decimali

UN ESEMPIO

Trasformo l’angolo µ = 48° 17′ 26″ in centesimali e poi in radianti.

Per prima cosa passo da gradi sessagesimali a gradi (sessagesimali) decimali.
µ = 48° + (17/60)’ + (26/3600)” = 48°,2905

Ora applico questa proporzione, per passare ai gradi centesimali:
µ^gon / 200^gon = µ° / 180°
Dato che µ°=48°,2905
E visto che il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi,
trovo che: µ^gon = 48°,2905 x (200/180) = 53^gon,6561

Infine vado alla ricerca dei radianti.
Uso i gradi (sessagesimali) decimali con questa proporzione:
µ^rad / π = µ° / 180°

(Avrei potuto usare tranquillamente anche i gradi centesimali).

Da qui viene fuori che:
µ^rad = µ° x (π/180) = 0^rad,8428

UN FOGLIO DI CALCOLO PER LE CONVERSIONI

Come hai visto, passare da un angolo all’altro (o meglio, da unità di misura diverse) non è complicato ma può richiedere un po’ di tempo.
Specialmente se hai tanti angoli da convertire.

Ho impostato un foglio di calcolo che fa tutto questo in maniera (semi)automatica.
Lo rendo disponibile, per il download, per i finanziatori di 3DMetrica, a partire dal livello “Contenuti esclusivi“.

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