LE COORDINATE POLARI

Immagine che raffigura le coordinate polari di un punto nel piano

In topografia è impiegato spesso il sistema di riferimento polare. In questo articolo ti parlo di che cos’è e puoi scaricare un foglio di calcolo per la conversione delle coordinate polari in quelle cartesiane, e viceversa.

La finalità del rilievo topografico è determinare la posizione di punti della superficie terrestre, oltre che rappresentarli, numericamente e graficamente.
E’ importante scegliere un metodo che li definisca in modo sicuro e ciò vale anche per la loro posizione.
Per questo motivo si impiegano i sistema di riferimento.

IL SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO

Immagine che rappresenta un piano cartesiano e punti al suo interno con relative coordinateIl  più “famoso” è il sistema di riferimento cartesiano.
Penso che tu sappia già tutto su di lui: tramite questo sistema si può determinare la posizione di punti nel piano (sistema bidimensionale ) e nello spazio (sistema tridimensionale). C’è un origine (O) e, nel piano, ci sono due assi X e Y, ascisse ed ordinate, che lì si incrociano.
Un punto P del piano cartesiano è univocamente determinato da due coordinate Xp e Yp, le sue  coordinate cartesiane.
Tutto questo risale all’inizio del 1600 ed è figlio del filosofo e matematico francese René Descartes, a.k.a. Cartesio.

LE COORDINATE POLARI

Il sistema di riferimento polare raggiunge il solito obiettivo di definire la posizione di un punto nel piano  (o nello spazio, ma qui ti parlo solo del problema bidimensionale).
In questo caso però i parametri che posizionano un punto sono una distanza ed un angolo, due elementi non omogenei.

Un sistema di riferimento polare ha:

  1. un’origine (il punto O) che si chiama polo;
  2. una semiretta orientata che si chiama asse polare;
  3. un verso positivo di rotazione, convenzionalmente orario (o destrogiro).

Le coordinate polari di un punto si chiamano modulo e azimut.
Il modulo è la distanza di un punto dal polo, è sempre positiva e va da zero ad infinito.
L’azimut (o angolo di direzione) è l’angolo che si misura facendo ruotare in senso positivo l’asse polare fino a farlo sovrapporre al segmento che unisce punto e polo. L’azimut è compreso tra 0° e 360° (o 400c o 2PiGreco).

Immagine che rappresenta le coordinate polari di due punti nel piano in differenti quadrati

TRASFORMAZIONE DI COORDINATE

Nelle applicazioni topografiche capita spesso di dover passare da coordinate polari a cartesiane e viceversa.
Le misure prese sul campo con una stazione totale sono distanze ed angoli a partire dal punto di stazione dello strumento. Sono in tutto e per tutto coordinate polari.
Le coordinate dei sistemi di riferimento cartografico sono invece distanze (Est, Nord e Quota) in un sistema di riferimento cartesiano.

Il passaggio dalle coordinate polari a quelle cartesiane è sempre possibile perchè la loro corrispondenza è biunivoca.
Visto che nelle (semplici) formule di trasformazioni entrano le funzioni seno e coseno i valori delle coordinate cartesiane saranno positive o negative in funzione del valore dell’azimut.

Immagine che rappresenta le coordinate polari di due punti nel piano in differenti quadratiAnche la trasformazione inversa è sempre possibile però bisogna fare attenzione alla posizione del punto nei quadranti del piano cartesiano.
Nelle formule di trasformazione infatti compare la funzione inversa arcotangente che restituisce valori di angoli compresi solamente nell’intervallo tra -90° e +90°. Serve quindi fare un passetto in più per trovare il vero valore dell’azimut a seconda della posizione del punto.

UN FOGLIO DI CALCOLO PER TRASFORMARE LE COORDINATE

Così come ho fatto per le trasformazioni degli angoli nelle loro unità di misura (trovi l’articolo a questo link) condivido con te un altro foglio di calcolo per la trasformazione delle coordinate piane: da cartesiane a polari e viceversa.

Puoi scaricare il file a questo link: CONVERSIONE DI COORDINATE oppure tramite il pulsante che trovi qui a destra nelle pagine del blog.

Prima di utilizzare il foglio di calcolo devi sapere che:

  1. l’asse polare coincide con l’asse delle ordinate, ossia l’azimut si inizia a misurare a partire dall’asse Y;
  2. l’origine del sistema polare e di quello cartesiano coincidono;
  3. la numerazione dei quadranti cartesiani è così fatta: I quadrante, X>0 Y>0 – II quadrante, X>0 Y<0 – III quadrante, X<0 Y<0 – IV quadrante, X<0 Y>0

 

Spero che questo strumento possa aiutarti a trasformare coordinate di punti tra il sistema di riferimento cartesiano e quello polare.

A presto!

Paolo

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