Seno e Coseno sono funzioni goniometriche.

…

Lo scopo di questi articoli è quello di (provare a) parlare di cose matematiche/geometriche/topografiche, a volte complesse, in modo semplice.
E questo incipit non funziona…

Devo fare un passo indietro, partendo da un po’ più lontano.

TRIGONOMETRIA PIANA

Tutto quello che hai imparato a scuola (media) su figure piane, perimetri, solidi, aree, volumi, il teorema di Pitagora, …, è importante male ma non ti aiuta nella pratica.
Parlando di poligoni, i teoremi e le relazioni delle geometria elementare legano tra loro SOLO i loro lati O i loro angoli.
Ed è un po’ limitante.

Sì perchè se cerchi di trovare gli angoli di un triangolo conoscendo i suoi lati, non ci riesci.
Fidati, è così…
Ok, non vale il caso del triangolo equilatero!
🙂

Serve qualcosa in più.
Ed ecco che arriva in soccorso la trigonometria piana.

La mission della trigonometria piana è quella di scovare come si relazionano tra loro i lati e gli angoli dei triangoli.

Potrei dire che la trigonometria è aperta di vedute.
Per lei vanno benissimo angoli con angoli, lati con lati e lati con angoli…

Ed anche se può sembrarti un po’ elitaria, chiamando in causa solo i triangoli, la puoi applicare ad ogni figura (piana).
L’area di ogni poligono infatti è sempre scomponibile, disegnando diagonali qua e là, in triangoli.

Ed il triangolo è una delle figure geometriche più potenti che ci sia.
Non so se è così per tutti ma per il topografo sicuramente è così!

Per poter passare di livello, sfruttando davvero la trigonometria piana, serve fare la conoscenza di alcuni nuovi protagonisti, alcune nuove funzioni: le funzioni goniometriche.

Seno, Coseno, Tangente, Arcoseno, Arcocoseno, Cotangete, Arcotangente, Cosecante, …
Sono tutte funzioni goniometriche.
E sono legate tra loro da un’entità geometrica fondamentale, l’angolo (orientato).

Si chiamano funzioni goniometriche proprio perchè sono legate alla misura degli angoli ed il goniometro è lo strumento che li misura (dal greco gonio + metron).

Qualcuno (non molti a dire il veo) le chiama anche funzioni circolari, perchè si costruiscono su una circonferenza particolare (il cerchio goniometrico che ti presento tra poco) o trigonometriche, perchè si usano in trigonometria.

Qui ti parlo di seno e coseno.

IL CERCHIO GONIOMETRICO

Ti dico subito che il cerchio goniometrico non è indispensabile per arrivare alle funzioni goniometriche.
Ma aiuta a capire che cosa sono.
Soprattutto per il seno ed il coseno.

Un cerchio goniometrico (o circonferenza trigonometrica) è un cerchio.
E fin qui tutto bene.
Il suo centro “O” è l’origine di una coppia di assi cartesiani, ortogonali tra loro: X e Y.
Il punto in cui l’asse Y e la circonferenza si intersecano è il punto “A” e da qui si iniziano a misurare gli angoli orientati.
Il lato OA (gli angoli hanno due lati) è il lato origine, quello che si muove attorno ad O .
Il cerchio goniometrico ha il raggio unitario, R=1
Sì ma “1” che cosa?
“1” unità di lunghezza.
Non sono metri, né centimetri.
Il raggio funziona da unità di misura dell’intero sistema cartesiano (anche se non è un granchè dire: “questa lunghezza misura 13 raggi”…)

Questo qui sopra è un cerchio goniometrico ed ora ti dico come da qui si può vedere, subito e graficamente, qual è il seno e quale in coseno.

Prendi il punto B.
B è un punto a caso sulla circonferenza.
Che però può stare solo sulla circonferenza, senza entrare dentro l’area del cerchio né andarsene in giro nell’infinito del piano che c’è all’esterno.

OB è il segmento che lo unisce con il cerchio.
Ed è lungo quanto il raggio.
Siccome siamo in un cerchio goniometrico, ed il raggio è unitario, OB=1.

Qualsiasi posizione assuma B, questa dipenderà solo dall’angolo α.
È come se ci fosse un picchetto piantato in terra in corrispondenza di O a cui qualcuno ha legato una corda alla cui estremità c’è il punto B, che si muove mantenendola (la corda OB) sempre tesa.

La posizione di B dipende davvero solo da α.

E visto che il cerchio goniometrico crea in automatico un piano cartesiano, di centro O, la posizione di B è scomponibile nelle sue due coordinate, X_B e Y_B.
Anche loro dipendono solo dall’angolo α.
È piuttosto evidente, credo…

SENO E COSENO

Ora sono pronto a dirti che cosa sono, matematicamente (e geometricamente) seno e coseno.

La prima cosa che c’è sa sapere che seno e coseno, così come tutte le funzioni trigonometriche, sono sempre legate agli angoli.
Esiste il seno di un angolo ma non troverai mai il coseno di una velocità…

Ora guarda l’immagine qui sopra ed il triangolo rettangolo OBC.

Il seno dell’angolo α è il rapporto tra il cateto BC e l’ipotenusa OB.

Il coseno di α invece è il rapporto tra l’altro cateto OC e, di nuovo, l’ipotenusa OB.

Quindi:

Senα = BC/OB

Cosα = OC/OB

Visto che OB è sì l’ipotenusa del triangolo rettangolo, ma è anche il raggio del cerchio, R, si può scrivere che:

Senα = BC/R

Cosα = OC/R

Ma qual è l’unità di misura di seno e coseno?
Non c’è.
Sono numeri puri, adimensionali, perchè vengono fuori dal rapporto di due lunghezze.

Dato che sei in un cerchio goniometrico, dove il raggio è l’unità di misura di riferimento di tutta la baracca, R=1, non fai nessun errore se scrivi che:

Senα = BC

Cosα = OC

Guardando al punto B nel piano cartesiano, BC è la sua ascissa e OC la sua ordinata. Sono, rispettivamente, la coordinata X e la Y.

Quindi:

Senα = X_B

Cosα = Y_B

Attenzione però perchè queste ultime due relazioni valgono SOLO nella casa del cerchio goniometrico.

Tuttavia nella realtà seno e coseno sono sempre dei rapporti di segmenti (è per questo che ti ho scritto subito la loro definizione) e, come tali, esistono anche al di fuor del cerchio goniometrico.

SENO E COSENO DI ANGOLI “IMPORTANTI”

Non è che ci siano angoli più importanti di altri…
È che ce ne sono alcuni di cui è più facile ricordare quanto valgono seno e coseno.
O perchè sono 0, 1 o -1 o perchè sono numeri (decimali puri o misti – intero e radice quadrata) più archiviabili nella testa rispetto a 0,876475932….

Inizio dal primo gruppo…

Lavora sul cerchio goniometrico.
Il punto A è l’intersezione dell’asse Y con la circonferenza.
Il punto O è il centro del cerchio.
Il punto B si muove SOLO sulla circonferenza, in senso orario a partire da A.
Il punto C è le proiezione di B sull’asse Y.

Te lo ripeto un’altra volta, dipende tutto dall’angolo α.

Ed ecco che cosa succede aumentando α di 90°, partendo da 0°, ed arrivando gli angoli che determinano i 4 quadranti:

Visto che:

Senα = X_B
Cosα = Y_B

Ecco una serie di valori, facili e facilmente memorizzabili, per seno e coseno.

Sen0° = 0
Cos0° = 1

Sen90° = 1
Cos90° = 0

Sen180° = 0
Cos180° = -1

Sen270° = -1
Cos270° = 0

RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA

Se guardi seno e coseno nel cerchio goniometrico ti accorgi subito che sono i cateti di un triangolo rettangolo che ha per ipotenusa il raggio R.

Quindi si può usare il Teorema di Pitagora per scrivere:

sen²α + cos²α = R

Ma visto che il Raggio vale 1:

sen²α + cos²α = 1

Questa qui sopra è una formula importante e si chiama relazione fondamentale della goniometria.

La somma dei quadrati di seno e coseno dello stesso angolo è sempre uguale a 1.

SENO E COSENO, FUNZIONI PERIODICHE

Seno e Coseno sono funzioni periodiche.
Si ripetono.
Ogni 360°.

Dopo un angolo giro, Seno e Coseno tornano ad assumere gli stessi valori.

ALTRI ANGOLI “COMODI“

Ci sono altri angoli comodi nel ricordarsi quanto vale il loro seno ed il loro coseno.

Sono 30°, 45° e 60°.

Si può dimostrare il risultato di seno e coseno di questi angoli, geometricamente, ed in tutti e tre i casi.
Non lo faccio.
Mi piacerebbe scrivertelo (in effetti sono un po’ un nerd delle dimostrazioni) e, per altro, si tratta di considerazioni molto semplici su triangoli rettangoli, equilateri e quadrati, ma ci metterei davvero tanto con questo editor di testo (devo trovare una soluzione perchè più avanti le cose si complicheranno…).

Ti chiedo quindi di fidarti se scrivo:

Sen30° = 1/2
Cos30° = √3/2

Sen60° = √3/2
Sen30° = 1/2

Sen45° = √2/2
Cos45° = √2/2

C’è un solo angolo per cui seno e coseno sono uguali, ed è 45°.
Per tutti gli altri angoli sono diversi.

LIMITI DI SENO E COSENO

È facile anche stabilire i limiti, massimo e minimo, di queste due funzioni.

Guardando il cerchio goniometrico e controllando i valori di seno e coseno per gli angoli che dividono i quadranti (0°, 90°, 180°, 270°) si vede che il valore massimo è 1 e quello minimo -1.

Per tutti gli altri angoli puoi prendere una calcolatrice scientifica e provare numeri a caso su cui calcolarci seno e coseno (anche se si vede direttamente dal cerchio goniometrico).
Troverai sempre che nessuno risultato sarà maggiore di 1 o minore di -1.

Quindi:

-1 ≤ Senα ≤ 1
-1 ≤ Cosα ≤ 1

GRAFICI DI SENO E COSENO

Hai mai sentito parlare di “sinuosoide“?
Eccola!

Sembrano la rappresentazione delle onde del mare che avanzano verso riva o quella delle frequenze di una trasmissione radio che si propagano nel vuoto.
E si ripetono…

Si chiama sinusoide perchè deriva proprio dal grafico della funzione “seno”.

Non è difficile crearlo (così come quello del coseno).
Basta un foglio di calcolo dove crei una colonna con gli angoli (da 0° a 360°) ed una con la formula per calcolare il seno.

Il risultato che trovi è questo questo:

Se lo fai per il coseno hai la curva qui sotto.
È fatta nello stesso modo (stessa ampiezza e stessa pendenza) ma anzichè partire da 0, inizia da 1 (perchè il coseno di 0° è 1).

Eccole tutte e due insieme!

Se invece di fermarti a 360° con gli angoli sull’asse della ascisse (come ho fatto io qui) decidi di andare avanti, la curva si ripete uguale all’infinito, creando la sinusoide.
Ed ecco confermata, ancora una volta, la periodicità di queste funzioni goniometriche.

ANGOLI COMPLEMENTARI, SUPPLEMENTARI ED ESPLEMENTARI

Finisco questo articolo con lo scriverti alcune relazioni che collegano seno e coseno di angoli complementari, supplementari ed esplementari.

Giusto per non lasciare niente indietro o al caso:
Due angoli sono complementari se la loro somma è l’angolo retto (90°);
Due angoli sono supplementari se la loro somma è l’angolo piatto (180°);
Due angoli sonoesplementari se la loro somma è l’angolo giro (360°).

Si possono dimostrare anche tutte le cose che ora ti scrivo.
Non è difficile.
Basta lavorare, ancora, sul cerchio goniometrico.
Ma non lo faccio…

Quindi ti dico di getto che:

Sen (90° – α) = Cosα
Cos (90° – α) = Senα

Sen (180° – α) = Senα
Cos (180°- α) = – Cosα

Sen (360° – α) = – Senα
Cos (360° – α) = Cosα

PERCHÈ SENO E COSENO

Se sei un professionista che lavora con la misura avrò scritto delle banalità.

Se sei un ricercatore, un professore o un accademico, non sarai arrivato a queste righe finali.

Se sei uno studente, spero che queste righe ti possano tornare utili o, per lo meno, meno sterili di alcune definizioni e trafiletti dei libri di testo.

In ogni caso, seno e coseno sono fondamentali per risolvere i triangoli, che sono le figure geometriche fondamentali nella pratica topografica.
Ogni problema si può semplificare in triangoli.
E se li puoi risolvere riesci a venire a capo della matassa.

È vero che fogli di calcolo e software a bordo degli strumenti di misura fanno tutto per te senza che tu ti debba sbattere più di tanto.
Ma credo che sapere che cosa c’è dietro al risultato sia un’arma che ti porti in tasca e puoi sfoderare ogni volta che le cose si mettono male…

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