Che differenza vuoi che ci sia tra un angolo di 45° ed uno di 46°?
Dai, siamo lì…
Non facciamo i pignoli!

Beh per un cecchino che deve colpire un bersaglio ad un chilometro di distanza, angolare la traiettoria del colpo di 45°, invece che 46°, vuol dire, con molta probabilità, sbagliare il colpo.
Perdona il paragone bellico/balistico ed i numeri che ho usato.
Non so neppure se ha senso nella realtà…

Per un topografo che deve trovare, su una mappa, un punto, di cui conosce le coordinate geografiche, una Latitudine di 45° lo manderebbe, virtualmente, nella Pianura Padana, mentre con 46° sarebbe già sulle Alpi, a più di 50 km di distanza.
E non ho nemmeno interpellato la Longitudine (un altro angolo).

Non pensare poi che una volta passati ai primi decimali ci si possa rilassare.
Non è così!
I numeri decimali di una misura angolare possono avere un peso importante.
In topografia lo hanno.
Fermarsi alla “classica” terza cifra dopo la virgola potrebbe non essere una buona idea.
Potresti sbagliare di decine e decine di metri!

I NUMERI “CONTANO”

Io non amo i decimali.
Ogni volta che posso li elimino.
Approssimando all’unità o anche oltre.

Quando pianifico un rilievo e mi faccio un giro su Google Earth per vedere come stanno (più o meno) le cose, approssimo i metri di una distanza alla decina.

Per le aree arrivo alle centinaia.

A volte però non si può fare a meno dei decimali.
Ma si può sempre scendere a compromessi.

Scrivere che una misura tra due muri interni è di 9,451 m non ha molto senso se l’hai presa con il disto laser, “traballando” un po’ e senza neppure picchiare con il raggio ortogonalmente alla parete di fronte.
9,5 m è più che sufficiente.

Se hai rilevato un punto con un’antenna GNSS RTK, scrivere che le sue coordinate piane sono: 571196,126; 4888609,249 non è significativo.
Anche se il software che ti ha fatto le conversione ti ha dato questi numeri, la precisione di una misura GPS (RTK) è di qualche centimetro.
Non arriva di certo al millimetro.
E non serve scriverlo.

Credo nelle cose semplici.
Penso che quando si descrive qualcosa (una misura, un concetto, un libro, …) ci si debba fermare a quello che è importante ed ha senso per il suo messaggio.
E questo vale anche per i numeri.
Ogni volta che si può.

Tuttavia lavorando con gli angoli dovrai riempirti le borse di un po’ di numeri decimali per fare bene le cose.
Specialmente in topografia!

UNITÀ DI MISURA DEGLI ANGOLI E DECIMALI

Tra le unità di misura degli angoli ce ne sono alcune per le quali serve alzare le antenne e stare attenti ai decimali.

Sono gli angoli decimali.

Questi due numeri qui sotto sono la stessa misura angolare:
48° 17′ 26″
48°,2905

I primi sono gradi sessagesimali, i secondo sono proprio i (sessagesimali) decimali.

Se mi fermo alla seconda cifra decimale (48°,29) perderei per strada i secondi.
E può voler dire molto.

I decimali vanno presi tutti.

Ma non basta.
Nelle misure topografiche, dove le precisioni si spingono al centimetro ed oltre, serve prendere ancora di più.

Nel caso dei gradi sessagesimali sarebbe opportuno aggiungere anche decimi, centesimi ed anche millesimi dei secondi:
48° 17′ 26,352″

Tradotto in gradi decimali significa aggiungere, almeno, altri due decimali.
Meglio se sono tre:
48°,2906194

LATITUDINE E LONGITUDINE SONO ANGOLI

Ma perchè serve così tanto tenere in conto i decimali nella misura degli angoli in topografia?

Perchè Latitudine e Longitudine sono angoli.
Ed anche piuttosto importanti!

(Dovrei parlarti anche dei monitoraggi e delle misure angolari delle Stazioni Totali che fanno questo lavoro, ma rischio di essere troppo dispersivo…)

La Latitudine è l’angolo compreso tra il parallelo passante per un punto sulla superficie terrestre e l’Equatore.
Per semplicità ti dico che è l’angolo misurato al centro della Terra, ma le cose sono leggermente diverse.
Va da 0° a 90° sia nell’emisfero Nord che in quello Sud.

La Longitudine invece è l’angolo che si forma tra il meridiano passante per un punto ed il meridiano di Greenwich.
La longitudine prende valori che vanno da 0° a 180° sia ad Est che ad Ovest del meridiano di Greenwich.

Latitudine, Longitudine sono le coordinate geografiche e servono per trovare la posizione di un punto sulla superficie della Terra.

Se si tratta di impostare una navigazione tramite smartphone su Google Earth una precisione metrica va ancora bene.
Ma se devo “materializzare” un caposaldo topografico per appoggiarci un rilievo mi serve qualcosa di più…

UN ESEMPIO SEMPLICE (SU GOOGLE EARTH)

Ho impostato Google Earth Pro in modo che le coordinate dell’area di lavoro del software fossero Latitudine e Longitudine espresse in gradi decimali.
Poi ho creato dei segnaposti.
Ho dato a tutti la solita coppia di coordinate che li identificasse sulla superficie.
Latitudine: 45°
Longitudine: 10°
Partendo da qui ho cambiato il valore della Longitudine, aggiungendo ogni volta il numero “5” come nuova cifra decimale.
10° – 10°,5 – 10°,55 – 10°,555 …
Dopo che Google ha aggiornato la posizione dei segnaposti ho misurato le distanze rispetto alla posizione di quello precedente.

Lo so, non è una prova molto rigorosa.
Google Earth non è uno strumento topografico.
Ma è semplice (e ripetibile) e spero che possa aiutare a capire, nella pratica, il senso di questo post.

Iniziamo!

La distanza tra i punti di coordinate (45°;10°) e (45°,10°,5) è di circa 40 km.

Aggiungo 0.05 alla Longitudine, che diventa: 10°,55.
La distanza tra il nuovo punto e quello di Longitudine 10°,5 è di circa 4 km.
I centesimi di grado hanno abbattuto circa 35 km!

Vado avanti così, aggiungendo, ad ogni step, un altro decimale.

Tra 10°,55 e 10°,555 ci sono 400 m;
Tra 10°,555 e 10°,5555, 40 m;
Tra 10°,55555 e 10°,555555 4 m;
Tra 10°,555555 e 10°,5555555 40 cm;
Tra 10°,5555555 e 10°,55555555 4 cm

Ma quando mi fermo nel considerare i decimali?
Quando ha senso farlo.
In una misura per un rilievo topografico plano-altimetrico (il piano quotato) mi potrei fermare alla 7° cifra decimale.
Andando avanti non ho nuove informazioni significative.

I casi possono essere diversi e non prendere questi numeri come un dogma.
Sono solo un esempio.

Ma spero che sia utile per capire come e perchè i decimali vadano presi per essere precisi (anche sull’aggettivo preciso si potrebbe scrivere un articolo intero)

ANGOLI AL CENTRO, ARCHI DI CIRCONFERENZA E RAGGI MOLTO GRANDI

C’è un motivo per cui a piccole variazioni angolari corrispondono grandi distanze sulla superficie ed è geometrico.

Si deve al fatto che siamo moooolto distanti dal centro della Terra, origine del sistema di riferimento cartesiano, 3D, geocentrico.
Si tratta di migliaia di chilometri!
E c’è una corrispondenza fortissima (i matematici la chiamano “diretta”) tra Raggio della Terra, Angolo al Centro e Distanza sulla Superficie.

Facciamo finta che la Terra sia tonda, una sfera.

Devo semplificare un po’ le cose.
Tanto per cambiare!
La Terra NON è una sfera (sempre meglio delle teorie terrapiattiste).

La taglio a metà, come farei con un’arancia prima di spremerla, e trovo una circonferenza.
In realtà è un cerchio ma siccome non mi interessa la sua area, rimaniamo sul suo contorno, la circonferenza appunto.

Il suo raggio, R, è grande.
Più di 6.300 km!

Ora prendo due punti sulla circonferenza, A e B.
La loro distanza dal centro è la stessa, OA = OB, ed è proprio il raggio R.
L’angolo, α, o AÔB, che i due segmenti formano al centro della circonferenza, si chiama, appunto, angolo al centro.

A e B individuano anche un pezzo, un tratto, un percorso sulla circonferenza: l’arco l

C’è un legame fortissimo tra l’arco e l’angolo al centro.

Se ti ricordi la definizione geometrica del radiante, l’unità di misura assoluta dell’angolo, il legame è presto detto:

Se α^radianti = l/R
Allora l = α · R

Ma vediamolo dall’inizio e senza usare i radianti.
Non è difficile, né lungo.
Si tratta di impostare una proporzione.

Se voglio fare il giro completo, spazzando un angolo Giro (360°), con il raggio (faccio un angolo orientato), ho percorso l’intera circonferenza.

Visto che non cambiamo niente del circuito virtuale in cui ci stiamo correndo (la circonferenza è sempre la stessa), c’è una proporzionalità tra circonferenza C + angolo Giro e arco l + angolo α.

La scrivo così:

C : 360° = l : α

Isolando l trovo che

l = (C · α) / 360

E visto che C = 2πR

Viene fuori che l = (π·R·α) / 180

Questo significa che:

• se aumento il raggio R della circonferenza, la lunghezza dell’arco l cresce;
• se prendo un angolo al centro α più grande, anche l’arco l diventa più grande.

E questo succede in modo proporzionale.
Se raddoppio R o α, raddoppia anche l.

Se poi aumento sia raggio che angolo al centro, l’incremento di l è più che proporzionale.
Raddoppiandoli entrambe, l quadruplica.

Ora è chiaro il perchè sia così importante fare attenzione ai decimali degli angoli quando si tratta con i punti sulla superficie della Terra?

Con un raggio di 6.300 km (in realtà è di più), un incremento di 0.1° corrisponde ad una variazione dell’arco (piuttosto assimilabile alla distanza tra i punti) di 10 km!

Se lavoro su una circonferenza di raggio 10 m, lo stesso aumento angolare produce una variazione dell’arco di 0.2 mm!

Ora, la Terra non è una sfera perfetta.
E la sua sezione assomiglia di più ad un’ellisse (ed anche questa è una semplificazione).
Ma il concetto è del tutto applicabile anche ai casi più complicati.
Quelli topografici e geodetici.
Dove non possiamo lasciare indietro i decimali dei gradi.

Qui sotto trovi un video, dal Canale You Tube di 3DMetrica, dove parlo di tutto quello che ti ho scritto qui ma applicato al caso dell’elaborazione fotogrammetrica usando immagini geotaggate su cui però non sono state impresse (nei metadati) tutte quante le informazioni di posizione.

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